Η σπείρα του Θεοδώρου – Άρρητοι αριθμοί

Του Ισιδώρου Γλαβά

 Άρρητος λέγεται κάθε πραγματικός αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων.

Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας, δηλαδή των άρρητων αριθμών, έγινε από τους Πυθαγορείους και συγκεκριμένα (σύμφωνα με αναφορές από Πρόκλο, Πάππο κ.α.) από τον Ίππασο τον Μεταποντίνο. Αυτός ανακάλυψε ότι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά μία μονάδα είναι αριθμός άρρητος, καταρρίπτοντας τη θεωρία των Πυθαγορείων που θεωρούσε ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί. Ο Ίππασος πλήρωσε με τη ζωή του την ανακάλυψη αυτή. Σε κάποιο θαλάσσιο ταξίδι οι Πυθαγόρειοι τον πέταξαν στη θάλασσα και πνίγηκε. 

Εποχές, ηλιοστάσια, ισημερίες – Διαδραστική εφαρμογή Geogebra.

Του Ισιδώρου Γλαβά

Η Γη μας έχει μια ιδιαιτερότητα: ο άξονας περιστροφής της δεν είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς της γύρω από τον Ήλιο, αλλά  παρουσιάζει κλίση σχεδόν 23,4 μοιρών. Αυτό όμως δεν είναι μειονέκτημα αλλά μάλλον πλεονέκτημα, μιας και έχει ως συνέπεια τις τέσσερις εποχές του χρόνου… Κατά την περιφορά της Γης γύρω από τον Ήλιο, υπάρχουν περίοδοι κατά τις οποίες είναι στραμμένο προς τον Ήλιο το βόρειο ημισφαίριό της και περίοδοι κατά τις οποίες είναι στραμμένο προς τον Ήλιο το νότιο ημισφαίριο. Όταν είναι στραμμένο προς τον Ήλιο το βόρειο ημισφαίριο, οι ηλιακές ακτίνες πέφτουν σχεδόν κάθετα προς αυτό και το θερμαίνουν περισσότερο, ενώ στο νότιο ημισφαίριο πέφτουν αρκετά πλάγια και το θερμαίνουν λιγότερο. Στην περίπτωση αυτή το βόρειο ημισφαίριο έχει καλοκαίρι και το νότιο ημισφαίριο έχει χειμώνα. Αντίστοιχο φαινόμενο έχουμε όταν είναι στραμμένο προς τον Ήλιο το νότιο ημισφαίριο. 

Eμβαδόν κυκλικού δίσκου. Εφαρμογή Geogebra

Του Ισιδώρου Γλαβά

 Το εμβαδόν (E) κυκλικού δίσκου ακτίνας (r) δίνεται ως γνωστόν από τον τύπο Ε = π·r² και αυτό μπορεί να αποδειχθεί με πολλούς τρόπους: γεωμετρικά, αλγεβρικά, με τη βοήθεια των εργαλείων της ανάλυσης  (ολοκληρώματα) κλπ.

 Ο Αρχιμήδης το 260 π.χ. με την ευφυέστατη χρήση των εγγεγραμμένων και περιγεγραμμένων τον στον κύκλο κανονικών πολυγώνων κατάφερε να υπολογίσει το εμβαδόν κυκλικού δίσκου. Οι ιδέες για τον υπολογισμό του εμβαδού έχουν σίγουρα μεγαλύτερη αξία από το τελικό αποτέλεσμα, δηλαδή τον τύπο Ε = π·r²

 Στο Δημοτικό σχολείο οι μαθητές μαθαίνουν αυτήν την σχέση αλλά ελάχιστοι από αυτούς την θυμούνται και ακόμα λιγότεροι έχουν κατανοήσει τη σημασία της.

 Στο Γυμνάσιο, εκτός από τον τύπο οι μαθητές μαθαίνουν και έναν εποπτικό τρόπο απόδειξης - μετασχηματισμός του κύκλου σε ισοδύναμο (ισεμβαδικό) ορθογώνιο παραλληλόγραμμο - ο οποίος παρουσιάζεται εδώ με τη βοήθεια του λογισμικού geogebra αξιοποιώντας την διαδραστικότητα και  την ακρίβεια του εργαλείου.

Η έννοια της συνάρτησης - Φύλλο διδασκαλίας Β’ Γυμνασίου

Του Ισιδώρου Γλαβά

Η συνάρτηση είναι ένα από τα βασικότερα εργαλεία των μαθηματικών χρήσιμο σε όλες σχεδόν τις επιστήμες. Παρ’ όλα αυτά η κατανόηση από τους μαθητές της έννοιας της συνάρτησης δεν είναι καθόλου εύκολη υπόθεση και αυτό δείχνουν τα αποτελέσματα ερευνών τόσο στην Ελλάδα όσο και στο εξωτερικό. Όπως γνωρίζουμε, υπάρχουν δεκάδες ορισμοί για την συνάρτηση όπως επίσης πολλοί τρόποι με τους οποίους μπορούμε να αναπαραστήσουμε συναρτήσεις. Αυτό εξαρτάται κυρίως από την τάξη διδασκαλίας στην οποία απευθυνόμαστε καθώς και το υπόβαθρό των μαθητών/τριών. Η διδασκαλία της συγκεκριμένης έννοιας  στη Β’ γυμνασίου περιορίζεται στη συσχέτιση δυο μεταβλητών, στην κατασκευή του πίνακα τιμών και της γραφικής παράστασης, και στην ερμηνεία της γραφικής παράστασης.

Στην παρούσα ανάρτηση καταχωρείται υλικό για την  κατανόηση της έννοιας της συνάρτησης από μαθητές της β’ Γυμνασίου με τη χρήση φύλλου εργασίας και διαδραστικών ψηφιακών εφαρμογών. 

Το Κόσκινο του Ερατοσθένη - Διαδραστική εφαρμογή Geogebra

Του Ισιδώρου Γλαβά

Το 200 π.Χ. περίπου ο Έλληνας Ερατοσθένης επινόησε έναν αλγόριθμο για τον υπολογισμό των πρώτων αριθμών μέχρι ένα δοσμένο αριθμό Ν, που ονομάζεται «κόσκινο του Ερατοσθένη». Ένας φυσικός αριθμός, εκτός από το 1, που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός, διαφορετικά λέγεται σύνθετος.

Η τεχνική του Ερατοσθένη στο κόσκινο του, είναι η εξής: 

Επίκεντρες γωνίες, εγγεγραμμένες γωνίες και κανονικά πολύγωνα (σενάριο διδασκαλίας)

Του Ισιδώρου Γλαβά

Σενάριο  είναι  ένα  εργαλείο  περιγραφής  της  διδασκαλίας  για  μια  συγκεκριμένη  περιοχή  ενός γνωστικού  αντικειμένου. Η  υλοποίηση του περιλαμβάνει την εφαρμογή μιας σειράς εκπαιδευτικών δραστηριοτήτων στην τάξη που εξειδικεύονται σε φύλλα εργασίας για τους μαθητές. Στο παρόν σενάριο οι δραστηριότητες υλοποιούνται από τους μαθητές με τη χρήση εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας (λογισμικό Geogebra).

• Γνωστική περιοχή των μαθηματικών:  Γεωμετρία Β΄ Γυμνασίου.

• Θέματα (εμπλεκόμενες έννοιες):  Υπολογισμός γωνιών, στοιχεία κύκλου, επίκεντρη γωνία, υπολογισμός τόξων, εγγεγραμμένη γωνία, σχέση εγγεγραμμένης με αντίστοιχη επίκεντρη και αντίστοιχο τόξο, ορισμός και ιδιότητες κανονικών πολυγώνων, κατασκευή κανονικών πολυγώνων, γωνία και κεντρική γωνία κανονικού πολυγώνου.

Αναπαραστάσεις και υπολογισμοί του Ορισμένου Ολοκληρώματος με τη χρήση του λογισμικού Geogebra

Πρόκειται για μια διαδραστική εφαρμογή που δίνει στους μαθητές τη δυνατότητα να κατανοήσουν:

• Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως όριο αθροίσματος
• Το ορισμένο ολοκλήρωμα ως εμβαδόν χωρίου
• Την αναπαράσταση του ορισμένου ολοκληρώματος με το εμβαδόν επιφανείας
• Τη σύνδεση του ορισμένου ολοκληρώματος με τη «συνάρτηση – ολοκλήρωμα» και το Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού
• Την αναπαράσταση του ορισμένου ολοκληρώματος με το εμβαδόν επιφανείας
• Την αναπαράσταση του ορισμένου ολοκληρώματος με το μήκος ευθυγράμμου τμήματος
• Τη σύνδεση μεταξύ των πολλαπλών αναπαραστάσεων, αλγεβρικών και γεωμετρικών.

Γη και Ήλιος - Διαδραστική εφαρμογή Geogebra

Του Ισιδώρου Γλαβά

Μία χρήσιμη διαδραστική εφαρμογή για να ερμηνεύσουμε και να κατανοήσουμε τα βασικά χαρακτηριστικά των  τεσσάρων εποχών του έτους, τις ισημερίες, τα ηλιοστάσια  και πολλά άλλα.

Καθοριστικός παράγοντας για αρκετά φαινόμενα που συμβαίνουν στον πλανήτη μας είναι η κλίση του άξονα της Γης σε σχέση με την τροχιά του γύρω από τον Ήλιο. Αυτή η κλίση καθορίζει τη διάρκεια του φωτός της ημέρας και την ποσότητα του ηλιακού φωτός και της θερμότητας που λαμβάνεται σε οποιοδήποτε γεωγραφικό πλάτος, από τις πολικές έως τις ισημερινές περιοχές. Αυτές οι αλλαγές προκαλούν τον ετήσιο κύκλο των εποχών και τις σχετικές μεταβολές της θερμοκρασίας και του κλίματος.
H εφαρμογή μας δίνει τη δυνατότητα να δούμε τη θέση Γης - Ήλιου μια οποιαδήποτε χρονική στιγμή (ακόμα και την τρέχουσα, πατώντας το κουμπί Now). Επίσης μπορούμε να δούμε γραφικά τις ουράνιες συντεταγμένες.

Μετακινήστε τους δρομείς, κάντε κλικ στα δυναμικά πλαίσια και εξερευνήστε τη θέση της Γης σε σχέση με τη θέση του Ήλιου στην διαδραστική εφαρμογή που ακολουθεί: (χρειάζεται λίγος χρόνος για την πλήρη φόρτωση της εφαρμογής στο ιστολόγιο)

Συνδέοντας τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις με τον τριγωνομετρικό κύκλο.

του Ισιδώρου Γλαβά 

Ο βασικός στόχος της δραστηριότητας είναι να δοθεί στους οι μαθητές η δυνατότητα να συνδέσουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας, όπως προκύπτουν από τον τριγωνομετρικό κύκλο, με τις γραφικές παραστάσεις των αντίστοιχων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Δωρεάν εκπαιδευτικά σεμινάρια εκμάθησης του Λογισμικού GeoGebra.

Του Ισιδώρου Γλαβά

Το GeoGebra είναι ένα εκπαιδευτικό εργαλείο χρήσιμο για την κατανόηση των μαθηματικών εννοιών, την επίλυση προβλημάτων και τον έλεγχο των  λύσεων από τους μαθητές τόσο εντός οσο και εκτός τάξης. Με αυτό, μπορούμε να δούμε τα μαθηματικά σε ένα δυναμικό και διαδραστικό περιβάλλον με πληθώρα αναπαραστάσεων των μαθηματικών εννοιών. Tο πλεονέκτημα που προσφέρει το GeoGebra σε σχέση με παρόμοιες εφαρμογές είναι ότι παρέχει πολλαπλές αναπαραστάσεις των αντικειμένων που είναι ενωμένες δυναμικά. Η ιδέα πίσω από το GeoGebra είναι να συνδεθούν γεωμετρικές, αλγεβρικές και αριθμητικές αναπαραστάσεις με έναν διαδραστικό τρόπο.

Εισαγωγή στο Πυθαγόρειο Θεώρημα - δραστηριότητα Geogebra

Του Ισιδώρου Γλαβά

Για κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, οι μαθητές παρατηρούν τα τρία αντίστοιχα τετράγωνα που σχηματίζονται και αναζητούν τη σχέση που συνδέει τα εμβαδά τους. Στη συνέχεια, οι παρατηρήσεις οδηγούν σε ένα γενικό συμπέρασμα και ακολουθεί η αυστηρή διατύπωση του Πυθαγορείου θεωρήματος.

Τριγωνομετρικός κύκλος - δραστηριότητα Geogebra

του Ισιδώρου Γλαβά

Ο βασικός στόχος της δραστηριότητας είναι να δοθεί στους οι μαθητές η δυνατότητα να οπτικοποιήσουν τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οποιασδήποτε γωνίας και να συνδέσουν διαισθητικά, τις τιμές τους και τις μεταβολές τους με τις τιμές και τις μεταβολές της γωνίας.
Ενδεικτικές οδηγίες προς τους μαθητές:

Πρόσθεση ακεραίων - δραστηριότητα Geogebra

Του Ισιδώρου Γλαβά

Ένα μοντέλο πρόσθεσης ακεραίων αριθμών με «βήματα» αριστερά και δεξιά πάνω στον άξονα. Για να κατανοήσουμε το νόημα των θετικών και των αρνητικών ακεραίων αριθμών, καθώς και των πράξεων μεταξύ τους, ένας πολύ καλός τρόπος είναι να παριστάνουμε καθέναν από αυτούς με αντίστοιχα «βήματα» πάνω στον άξονα των ακεραίων και μάλιστα αν είναι θετικός τότε τα βήματα είναι προς τα δεξιά ενώ αν είναι αρνητικός τότε τα βήματα είναι προς τα αριστερά.

Αντίστροφες συναρτήσεις - δραστηριότητα Geogebra

Του Ισιδώρου Γλαβά

Ο τύπος της συνάρτησης αρχικά είναι f(x)= sin(x). Μπορείτε να αλλάξετε τον τύπο της συνάρτησης, για παράδειγμα να γράψετε στο αντίστοιχο κουτάκι exp(x).
Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αρχικά είναι [-10, 10] και μπορείτε να το τροποποιήσετε σε ένα υποδιάστημά του χρησιμοποιώντας τους δρομείς στις επάνω κορυφές της δραστηριότητας.