Η σπείρα του Θεοδώρου – Άρρητοι αριθμοί

Του Ισιδώρου Γλαβά

 Άρρητος λέγεται κάθε πραγματικός αριθμός ο οποίος δεν είναι δυνατό να εκφραστεί ως κλάσμα δυο ακέραιων, σε αντίθεση με τους ρητούς αριθμούς, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν ως κλάσμα ακεραίων.

Η ανακάλυψη της ασυμμετρίας, δηλαδή των άρρητων αριθμών, έγινε από τους Πυθαγορείους και συγκεκριμένα (σύμφωνα με αναφορές από Πρόκλο, Πάππο κ.α.) από τον Ίππασο τον Μεταποντίνο. Αυτός ανακάλυψε ότι η διαγώνιος τετραγώνου με πλευρά μία μονάδα είναι αριθμός άρρητος, καταρρίπτοντας τη θεωρία των Πυθαγορείων που θεωρούσε ότι όλοι οι αριθμοί είναι ρητοί. Ο Ίππασος πλήρωσε με τη ζωή του την ανακάλυψη αυτή. Σε κάποιο θαλάσσιο ταξίδι οι Πυθαγόρειοι τον πέταξαν στη θάλασσα και πνίγηκε. 

Η απόδειξη των Πυθαγορείων για την αρρητότητα του ρίζα 2 σύμφωνα με τον Αριστοτέλη γίνεται με την «εις άτοπον απαγωγή» υποθέτοντας ότι είναι ρητός και καταλήγοντας σε άτοπο, ότι άρτιοι είναι ίσοι με περιττούς.

Παρόλο που όλο το έργο του Θεόδωρου χάθηκε, ο Πλάτων έβαλε τον Θεόδωρο στον διάλογό του «Θεαίτητος», ο οποίος μιλάει για το έργο του. Θεωρείται ότι ο Θεόδωρος είχε αποδείξει ότι όλες οι τετραγωνικές ρίζες των μη τετραγωνικών ακεραίων αριθμών από το 3 έως το 17 είναι άρρητες (μέσω της Σπείρας του Θεόδωρου).

Η σπείρα του Θεοδώρου ξεκινά με ένα ισοσκελές ορθογώνιο τρίγωνο, με κάθε σκέλος να έχει μήκος ίσο με τη μονάδα. Αυτό το τρίγωνο θα έχει υποτείνουσα με μήκος  √2. Το επόμενο ορθογώνιο τρίγωνο σχηματίζεται με το ένα σκέλος να είναι η υποτείνουσα του προηγούμενου ορθογωνίου και το άλλο σκέλος να έχει μήκος 1. Αυτό το τρίγωνο θα Αυτό το τρίγωνο θα έχει υποτείνουσα με μήκος  √3. Η διαδικασία αυτή επαναλαμβάνεται έως και την κατασκευή τριγώνου που έχει υποτείνουσα με μήκος √17.