To «Στομάχιον» του Αρχιμήδη.

Του Ισιδώρου Γλαβά

Το αρχαιότερο γνωστό μαθηματικό παζλ σχεδιάστηκε από τον Αρχιμήδη. (288 - 212 πΧ).

Το «Στομάχιον» ή «Οστομάχιον» που σημαίνει «η μάχη των οστών» είναι ένα παζλ με 14 κομμάτια που σχηματίζουν ένα τετράγωνο. Στην αρχαιότητα, τα κομμάτια αυτά ήταν συνήθως κατασκευασμένα από οστό ή από ελεφαντόδοντο απ΄ όπου και το όνομα του παιχνιδιού. Μοιάζει με το κινέζικο παζλ τάνγκραμ και είναι αρκετά προγενέστερο αυτού κατά 12 αιώνες περίπου.

Αρχικά, θεωρήθηκε ότι ο στόχος του παζλ ήταν να ανασυναρμολογηθούν τα κομμάτια για να σχηματίσουν ενδιαφέροντα σχήματα, όπως ο ελέφαντας.

Πρόσφατα (περίπου το 2000), μια ομάδα ερευνητών ανάκτησε με τη βοήθεια ακτίνων Χ τα σβησμένα κείμενα από το φθαρμένο «Παλίμψηστο του Αρχιμήδη» και κατέληξε στο συμπέρασμα ότι ο Αρχιμήδης είχε ως στόχο να ανακαλύψει με πόσους διαφορετικούς τρόπους θα μπορούσε να ανασυνδυάσει τα 14 τμήματα και να σχηματίσει ένα τετράγωνο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι υπάρχουν 17152 τρόποι (συνδυασμοί). Άρα το «Στομάχιον» του Αρχιμήδη, αποτελεί την αρχαιότερη πραγματεία περί Συνδυαστικής.

Το σχήμα που ακολουθεί παρουσιάζει δύο διαφορετικούς τρόπους με τους οποίους μπορούν να αναδιαταχθούν τα 14 κομμάτια από το αρχικό τετράγωνο δημιουργώντας πάλι τετράγωνο.

 Με το Στομάχιον ο Αρχιμήδης έθετε ένα πρόβλημα που ανήκει στα Συνδυαστικά Μαθηματικά. Το συνδυαστικό πρόβλημα επιλύθηκε πρόσφατα από δύο ομάδες μαθηματικών: Persi Diaconis και Susan Holmes στο Πανεπιστήμιο του Στάνφορντ και Robert Graham και Fan Chung στο Πανεπιστήμιο του Σαν Ντιέγκο της Καλιφόρνια.

Επίσης, ένας επιστήμονας των υπολογιστών, ο William Cutler, εργαζόμενος ανεξάρτητα, χρησιμοποιώντας τους υπολογιστές και όχι εξελιγμένα μαθηματικά, κατέληξε στην ίδια λύση, δηλαδή υπάρχουν 17152 τρόποι για να αναδιατάξουμε τα 14 κομμάτια έτσι ώστε να σχηματίσουν ένα τετράγωνο. Μπορούμε να μειώσουμε τον αριθμό αυτό σε 536 αν δεν μετρήσουμε συμμετρίες περιστροφής ή συμμετρίες ανάκλασης.

Οι 536 δυνατές λύσεις – τρόποι αναδιάταξης που υπάρχουν (μπορείτε να κάνετε μεγέθυνση στην εικόνα).

Μια ενδιαφέρουσα δραστηριότητα στα εμβαδά

Να υπολογίσετε το εμβαδόν καθενός από τα 14 τμήματα που αποτελούν το Στομάχιο καθώς και το λόγο του εμβαδού καθενός προς το συνολικό εμβαδόν του τετραγώνου. (Χρήσιμο το παρακάτω σχήμα  που δείχνει και με ποιόν τρόπο ο Αρχιμήδης χώρισε το τετράγωνο στα 14 κομμάτια).

Πώς να παίξετε αυτό το παιχνίδι

• Εκτυπώστε το τετράγωνο με τα 14 κομμάτια.
• Κόψτε με χαρτοκόπτη ή ψαλίδι καθένα από αυτά.
• Συναρμολογήστε τα (με όσο το δυνατόν περισσότερους τρόπους) για να φτιάξετε πάλι το τετράγωνο.
• Συναρμολογήστε τα για να φτιάξετε κάποιο άλλο σχήμα όπως για παράδειγμα αυτό που ακολουθεί

Βιβλιογραφικές πηγές:

·         Archimedes in the 21st Century,

Proceedings of a World Conference at the Courant Institute of Mathematical Sciences

Chris Rorres, Editor

·         The Works of Archimedes,

Translation and Commentary

Reviel Netz