Το ταξίδι των αριθμών ανάμεσα στους αιώνες.

 

Από τους φυσικούς μέχρι τους φανταστικούς και τους μιγαδικούς αριθμούς.

Η έννοια των αριθμών, έστω και ως εργαλείο καταμέτρησης, γεννήθηκε πολύ παλαιότερα από κάθε άλλο στοιχείο στον κόσμο των μαθηματικών. Αυτό το συνεχώς εξελισσόμενο σύνολο αποτέλεσε τον θεμέλιο λίθο για κάθε άλλη ανακάλυψη που προέκυψε μεταγενέστερα στην ιστορία των επιστημών. Η εγγενής ανάγκη του ανθρώπου να μετρήσει, οδήγησε τους πρώτους μαθηματικούς στην ιστορία της ανθρωπότητας να δημιουργήσουν μία ομάδα συμβόλων, που αποτέλεσε το αρχικό σύστημα αρίθμησης.

 

Τα πρώτα βήματα και η ανακάλυψη των Φυσικών Αριθμών

Κανείς δεν μπορεί να υπολογίσει την περίοδο που η ιδέα της αρίθμησης άρχισε να απασχολεί την ανθρωπότητα. Οι άνθρωποι πιθανότατα μετρούσαν ό,τι τους ενδιέφερε αρκετές χιλιετίες πριν δημιουργηθεί το πρώτο, έστω και αφηρημένο, σύστημα αρίθμησης στην αρχαία Μεσοποταμία, γύρω στο 3.500 π.Χ. Τέσσερις δεκαετίες αργότερα οι Αιγύπτιοι μαθηματικοί παρουσίασαν ένα δικό τους, πιο ορθά δομημένο, σύστημα με βάση το 10. Το πρώτο σύνολο αριθμών γρήγορα διαδόθηκε στους πιο εξελιγμένους πολιτισμούς, με τους αρχαίους Έλληνες να παίρνουν τα … σκήπτρα για να συμβάλλουν στην πορεία των μαθηματικών.

Τα πρώτα προβλήματα που ώθησαν τους επιστήμονες της εποχής να δημιουργήσουν τους αριθμούς αφορούσαν τον υπολογισμό της διάρκειας της ημέρας, αλλά και την καταμέτρηση αντικειμένων. Οι αριθμοί ξεκινούσαν από τη μονάδα, που αντιστοιχούσε στην ύπαρξη ενός αντικειμένου, και συνέχιζαν με ανάλογο τρόπο. Το πρώτο σύστημα αρίθμησης δηλαδή ήταν ουσιαστικά αυτό που στη συνέχεια της μαθηματικής ιστορίας ονομάστηκε «Φυσικοί Αριθμοί».

Η αφηρημένη έννοια του αρνητικού αριθμού – Οι «αγώνες» για την αναγνώριση του μείον

Όσο οι μαθηματικοί περιορίζονταν στον υπολογισμό του πλήθους των φυσικών αντικειμένων, η έννοια του αρνητικού αριθμού δεν είχε σημασία. Όπως φάνταζε λογικό εκείνη την εποχή, οι αριθμοί άρχιζαν από το «1» και συνέχιζαν μέχρι να αντιπροσωπεύσουν το πλήθος που καταμετρείται. Η πρώτη αναφορά σε αρνητικούς αριθμούς βρίσκεται μέσα σε εννέα βιβλία γραμμένα από Κινέζους συγγραφείς, περίπου το 100 π.Χ. Ωστόσο, η έννοια ήταν ακόμα εντελώς αφηρημένη, ενώ αρκετοί επιστήμονες της εποχής δεν μπορούσαν να την αντιληφθούν.

Ο Διόφαντος ήταν ο πρώτος μαθηματικός που εισήγαγε την έννοια των αρνητικών αριθμών στον δυτικό κόσμο τον 3ο αιώνα μ.Χ. Προσπαθώντας να βρει λύση για την εξίσωση 4x+20=0 κατέληξε πως τα αποτελέσματα είναι εντελώς παράλογα. Τρεις αιώνες αργότερα, αρκετοί Ινδοί μαθηματικοί ασχολήθηκαν με την ύπαρξη των αρνητικών αριθμών, στην προσπάθεια τους να υπολογίσουν τα χρέη κάποιων συμπολιτών τους. Ωστόσο, η ανυπόστατη έννοια ενός αριθμού που δεν υπάρχει, άργησε να γίνει αποδεκτή από τον κόσμο των μαθηματικών. Μέχρι και τον 17ο αιώνα η πλειοψηφία των μαθηματικών δεν αναγνώριζε την ύπαρξη τους. Οι αριθμοί αυτοί χαρακτηρίζονταν ως «παράλογοι» έως ότου μια σειρά από διάσημους και αναγνωρισμένους μαθηματικούς τους… επιτρέψουν.

Τί υπάρχει ανάμεσα σε δύο ακεραίους; – Η εμφάνιση των Ρητών Αριθμών

Παράλληλα, όσο εξελισσόταν η διαμάχη περί ύπαρξης ή όχι των αρνητικών αριθμών, είχαν δημιουργηθεί και αρκετά ακόμα αναπάντητα ερωτήματα από μαθηματικούς. Οι Φυσικοί Αριθμοί αρκούσαν για τον υπολογισμό των φυσικών αντικειμένων, όμως δεν ήταν ικανοί να καλύψουν τις… μαθηματικές ανάγκες των μεταγενέστερων εποχών. Είναι δυνατόν ανάμεσα στο «1» και στο «2» να μην υπάρχει κανένας άλλος αριθμός; Η ανακάλυψη των Ρητών Αριθμών δεν άργησε να έρθει, με τους Αιγυπτίους να «πρωτοστατούν» στην δημιουργία τους. Οι Ρητοί Αριθμοί είναι γνωστοί και ως κλάσματα, μόνο που αριθμητής και παρονομαστής τους ήταν Φυσικοί Αριθμοί. Αναφορές στους Ρητούς υπήρχαν από τον 2ο αιώνα π.Χ. σε έργα Αιγυπτίων μαθηματικών, αλλά όπως είναι λογικό η αναγνώριση τους άργησε να έρθει από την μαθηματική κοινότητα.

Το πρόβλημα του Πυθαγόρα, οι Άρρητοι και η συμπλήρωση του συνόλου των Πραγματικών Αριθμών

Ο συνδυασμός αυτών των τριών συνόλων ήταν ικανός να λύσει σχεδόν κάθε μαθηματικό πρόβλημα που προέκυπτε. Ωστόσο, υπήρχαν ακόμα άλυτα ερωτήματα τα οποία δεν μπορούσαν να αντιμετωπιστούν ούτε από αυτό το τεράστιο σύνολο αριθμών. Γνωστότερο όλων ήταν το Πυθαγόρειο πρόβλημα το οποίο αποδείκνυε την αρρητότητα της τετραγωνικής ρίζας του 2. Η υποτείνουσα ενός τριγώνου με πλευρές ίσες με 1 δεν ήταν δυνατό να υπολογιστεί. Ο Πυθαγόρας δεν μπορούσε να διαψεύσει την ύπαρξή των αρρήτων μέσα από τη λογική, αλλά δεν μπορούσε και να δεχθεί την ύπαρξή τους. Το πρόβλημα παρέμεινε άλυτο και έπρεπε να περάσουν πάνω από δύο χιλιετίες ώστε οι Άρρητοι Αριθμοί να αναγνωρισθούν, από μια σειρά πρωτοπόρων μαθηματικών τον 19ο αιώνα.

Οι θεωρίες μαθηματικών όπως ο Βάιστρας, ο Ντέντεκιντ και ο Καντόρ ήταν πλέον ικανές να αποδείξουν την ύπαρξη των Αρρήτων. Με αυτό το τρόπο δημιουργήθηκε το ολοκληρωμένο σύνολο των Πραγματικών Αριθμών, στο οποίο ανήκουν όλοι οι αριθμοί. Φτάνοντας σε αυτό το σύνολο, οι μαθηματικοί θεώρησαν πως δημιούργησαν το απόλυτο εργαλείο για τις μελέτες τους. Ένα σύνολο αριθμών από το οποίο δεν έλειπε απολύτως τίποτα. Έκαναν για ακόμα μια φορά όμως ένα μεγάλο λάθος, αφού δεν χρησιμοποίησαν επαρκώς την… φαντασία τους.

Το … φανταστικό μέρος των μαθηματικών – Η ολοκαίνουργια έννοια των μιγαδικών

Τα μαθηματικά εξελίχθηκαν, οι ανάγκες των μαθηματικών αυξήθηκαν και έτσι ακόμα και οι Πραγματικοί Αριθμοί δεν ήταν ικανοί να λύσουν τα ερωτήματα τους. Δημιούργησαν έτσι τους Φανταστικούς Αριθμούς. Η πρώτη ιδέα είχε ακουστεί από τους Ιταλούς μαθηματικούς Ταρτάλια και Κάρντανο, όμως δεν άργησε να απορριφθεί. Η μαθηματική κοινότητα θεώρησε… τρελούς όσους ασχολούνταν με την ύπαρξη ενός φανταστικού συνόλου και απαξίωσε κάθε επιχείρημα τους. Στις αρχές του 19ου αιώνα όμως οι Φανταστικοί Αριθμοί ξαναήρθαν στο προσκήνιο, αυτή τη φορά από τον Γκάους, ένα μαθηματικό διεθνούς φήμης.

Οι μαθηματικοί άρχισαν να ασχολούνται παραπάνω με την υπόθεση του Γκάους. Χρειάστηκε περίπου ένας αιώνας ώστε, αυτό που είχε πρωτοαναφερθεί το 1640, επιτέλους να αναγνωρισθεί. Οι Φανταστικοί Αριθμοί συνδυάστηκαν με τους ήδη υπάρχοντες για να δημιουργήσουν το σύνολο των Μιγαδικών Αριθμών. Αυτή ήταν και η τελευταία προσθήκη στο σύνολο των αριθμών ως σήμερα. Εικάζεται πως το υπάρχον σύνολο αριθμών δεν μπορεί να ενισχυθεί επιπλέον. Ωστόσο αυτή η εντύπωση υπήρχε διαχρονικά, ειδικά μετά από κάθε καινούργια ομάδα αριθμών που ανακαλυπτόταν.

Το ταλέντο της … προσαρμογής – Η μελλοντική εξέλιξη των αριθμών

Η πορεία του συνόλου των αριθμών είναι συνυφασμένη με την εξέλιξη των επιστημών αλλά και γενικότερα με την περιπέτεια της ανθρώπινης ύπαρξης. Εξάλλου οι αριθμοί δεν είναι τίποτα περισσότερο από ένα εργαλείο επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν από τις ανάγκες της εποχής. Το μόνο ερώτημα που θα παραμένει αναπάντητο, είναι το κατά πόσο η ανθρώπινη ευφυΐα είναι ικανή να προχωρήσει και να οδηγήσει σε νέα, εξελιγμένα και πρωτοποριακά μαθηματικά που με τη σειρά τους θα εμπλουτίσουν τον συναρπαστικό κόσμο των αριθμών.

 

Πηγή :  physics4u.gr

 

Σχετικό άρθρο στην αγγλική γλώσσα : The Evolution of Numbers