Εκθετική μεταβολή και νέος κορωνοϊός.

Του Ισιδώρου Γλαβά

 Αρκετές φορές ακούμε τη φράση τα «κρούσματα αυξάνονται με εκθετικό ρυθμό», χωρίς να κατανοούμε τι σημαίνει αυτό. Η παρούσα ανάρτηση αναφέρεται σε μαθηματικά μοντέλα που περιγράφουν  και ερμηνεύουν το φαινόμενο της εξάπλωσης του νέου κορωνοϊού COVID-19  με τη χρήση μαθηματικών  γνώσεων του Λυκείου. Τα ίδια μοντέλα περιγράφουν με καλή προσέγγιση και πολλά άλλα φαινόμενα. Η ανάρτηση βασίζεται σε πρόσφατο βίντεο του Μαθηματικού Grant Sanderson (δημιουργήθηκε στις 6 Μαρτίου 2020 και έχει διάρκεια μόλις 9 λεπτά).

Πιστεύω ότι, κατανοώντας καλύτερα το φαινόμενο της εξάπλωσης, θα δώσουμε μεγαλύτερη σημασία στα μέτρα ατομικής και συλλογικής ευθύνης, προκειμένου να προστατέψουμε τον εαυτό μας αλλά και τους άλλους γύρω μας.

Δείτε το βίντεο εδώ:

Στο βίντεο χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί:

Nd  είναι τα κρούσματα μιας δεδομένης της ημέρας.

Κάθε άτομο που έχει τον ιό, τον μεταδίδει κατά μέσο όρο  σε Ε άτομα, τη δεδομένη μέρα.

p είναι η πιθανότητα να προσβληθεί ένα νέο άτομο και να γίνει νέο κρούσμα τη μέρα αυτή.

Ο αριθμός των νέων κρουσμάτων κάθε μέρα δίνεται από τη σχέση:

ΔΝd = E ⋅ p ⋅ Nd

Από τη σχέση αυτή προκύπτει ότι ο αριθμός των νέων κρουσμάτων κάθε μέρα είναι ανάλογος του αριθμού  των υφιστάμενων κρουσμάτων τη ημέρα αυτή. Εδώ θα ήθελα να τονίσω ότι το να εκφράσουμε έναν νόμο που διέπει ένα φαινόμενο με μια κατάλληλη και αποτελεσματική μαθηματική σχέση, τις περισσότερες φορές δεν είναι καθόλου εύκολο, ακόμα και για Μαθηματικούς.

Χρησιμοποιώντας τα δεδομένα που υπήρχαν έως τις 6 Μαρτίου σε σχέση με την εξάπλωση του νέου κορωνοϊού, σύμφωνα με το συγκεκριμένο μοντέλο, χρειάζονται είκοσι περίπου μέρες για να πάμε από τα 100 κρούσματα στα 1.000 και δεκατρείς περίπου μέρες για να πάμε από τα 1.000 στα 10.000 κρούσματα.

Επίσης, κατά μέσο όρο, δεκαπλασιάζονται τα κρούσματα κάθε 16 ημέρες. Οπότε, αν κάποια ημέρα, μία χώρα έχει Α κρούσματα και μία άλλη 10Α, και τότε πιθανότατα η πρώτη χώρα βρίσκεται 16 περίπου μέρες πίσω από τη δεύτερη.

Η κυριότερη επισήμανση αυτού του άρθρου είναι ότι για να περιοριστεί ο αριθμός των νέων κρουσμάτων χρειάζεται ένας τουλάχιστον από τους παράγοντες E και p να μικρύνει. Αυτό μπορεί να συμβεί όταν άτομα του πληθυσμού νοσήσουν  οπότε αυτά τα άτομα δεν μπορούν να γίνουν πλέον νέα κρούσματα για το επόμενο χρονικό διάστημα. 

Φυσικά και δεν θα περιμένουμε να συμβεί κάτι τέτοιο, μιας και υπάρχουν δύο άλλοι βασικοί τρόποι για να μειωθούν οι παράγοντες E και p. Αυτοί είναι:

α) να μένουμε στο σπίτι και να περιορίζουμε τις επαφές μας με άλλους ανθρώπους καθώς και τις μετακινήσεις μας στις απολύτως αναγκαίες.

β) να τηρούμε τους κανόνες ατομικής υγιεινής, όπως σωστό πλύσιμο χεριών, χρήση αντισηπτικού, απολύμανση χώρων και αντικειμένων, αποφυγή επαφής χεριών με στόμα, μύτη ή μάτια, κλπ.

Επιπλέον, η πολιτεία λαμβάνει τα απαραίτητα μέτρα με γνώμονα το συμφέρον των πολιτών και τη μείωση των κρουσμάτων στο ελάχιστο.

Από την εκθετική στην λογιστική ή σιγμοειδή καμπύλη.

Γνωρίζουμε ότι στην εξάπλωση ενός ιού, ο ρυθμός αύξησης των κρουσμάτων, αρχικά αυξάνεται από τη μια μέρα στην επόμενη, ενώ στη συνέχεια μειώνεται, μέχρι που σχεδόν μηδενίζεται. Η σιγμοειδής καμπύλη εκφράζει καλύτερα αυτό το φαινόμενο.

Ο παράγοντας εξάπλωσης μιας συγκεκριμένης μέρας, που είναι ο λόγος της μεταβολής των κρουσμάτων την μέρα αυτή προς τη  μεταβολή των κρουσμάτων την προηγούμενη μέρα παίζει καθοριστικό ρόλο στην εξέλιξη του φαινομένου.

Την χρονική στιγμή που διανύουμε, έχουμε παράγοντα εξάπλωσης > 1, και αντιστοιχεί στο το πράσινο τμήμα της καμπύλης. Όταν ο παράγοντας εξάπλωσης γίνει <1, θα βρισκόμαστε στο τμήμα της καμπύλης. Έχουμε ένα σημείο καμπής όταν ο παράγοντας εξάπλωσης = 1, πράγμα που σημαίνει ότι μεταβαίνουμε από την επιτάχυνση της εξάπλωσης στην επιβράδυνση της εξάπλωσης.

Όταν το πλήθος των νέων κρουσμάτων της ημέρας τείνει να γίνει ίσο με το πλήθος των νέων κρουσμάτων της προηγούμενης ημέρας, τότε ο παράγοντας εξάπλωσης τείνει προς το 1 οπότε βρισκόμαστε κοντά στο σημείο καμπής. Τότε, τα συνολικά κρούσματα περίπου διπλασιάζονται.

Ο παράγοντας εξάπλωσης έχει λοιπόν τεράστια επίδραση στο αποτέλεσμα του αριθμού των κρουσμάτων. Για παράδειγμα, αν έχουμε ρυθμό ανάπτυξης 15%, δηλαδή παράγοντα εξάπλωσης 1,15 τότε σε 61 ημέρες θα έχουμε πάνω από 100 εκατομμύρια κρούσματα (να θυμίσω ότι ήταν 21.000 τα κρούσματα σε όλες τις χώρες πλην της Κίνας, στις 6 Μαρτίου). Εάν όμως, ο ρυθμός ανάπτυξης μειωθεί στο 5% , δηλαδή ο παράγοντας εξάπλωσης γίνει 1,05 (ο οποίος εξακολουθεί να είναι> 1), τότε σε 61 ημέρες θα έχουμε 400.000 κρούσματα.

Και επειδή αυτή η μεταβολή είναι εκθετική, και όχι γραμμική, ακόμα και μια μικρή μείωση του παράγοντα εξάπλωσης επιφέρει τεράστια μείωση στο πλήθος των κρουσμάτων. Γι’ αυτό, η έγκυρη πληροφόρηση, η εφαρμογή των οδηγιών που δίνονται από τους ειδικούς λοιμωξιολόγους και επιδημιολόγους, καθώς και η υπεύθυνη στάση όλων μας είναι περισσότερο αναγκαία από ποτέ.

Πηγή : www.3blue1brown.com

Ιστότοποι με χρήσιμα στοιχεία για τον Κορωνοϊό:

• Παγκόσμιος Οργανισμός Υγείας
• Centers for Disease Control and Prevention (CDC)
• Johns Hopkins Covid-19
• worldometer
• Our World in Data